常见二次曲面整理

1. 椭球面

定义与方程推导 椭球面是二次曲面中唯一有界（封闭）的曲面。其标准方程通常由空间解析几何中的距离定义或伸缩变换推导而来。在标准坐标系下，其方程为： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 其中 $a,b,c$ 均为正实数，分别代表椭球面在 $x,y,z$ 三个轴上的半轴长。

参数方程 令 $u$ 为极角（与 $z$ 轴夹角），$v$ 为方位角（在 $xy$ 平面投影与 $x$ 轴夹角），则参数方程为： $\{\begin{array}{l}x=a\sin u\cos v\\ y=b\sin u\sin v\\ z=c\cos u\end{array}$ 参数范围通常为 $u\in [0,\pi ],v\in [0,2\pi ]$。

几何性质与截痕

• 对称性：关于三个坐标平面 ($xOy,xOz,yOz$)、三个坐标轴以及原点均对称。
• 有界性：曲面完全包含在长方体 $|x|\le a,|y|\le b,|z|\le c$ 内部。
• 截痕分析：
  • 用平面 $z=k$ ($|k|c$ 时，无实截痕。
• 特殊情况：
  • 若 $a=b=c$，则为球面。
  • 若 $a=b\ne c$，则为旋转椭球面（由椭圆绕 $z$ 轴旋转而成）。

2. 单叶双曲面

定义与方程推导 单叶双曲面是连通且无界的曲面，形状类似“沙漏”或“冷却塔”。其标准方程为： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ 注意方程左边有两项为正，一项为负，右边常数为 1。

参数方程 利用双曲函数的性质 ${\cosh }^{2}u-{\sinh }^{2}u=1$，我们可以构建参数方程。这里 $u$ 控制高度和腰部的扩张，$v$ 控制圆周方向： $\{\begin{array}{l}x=a\cosh u\cos v\\ y=b\cosh u\sin v\\ z=c\sinh u\end{array}$ 其中 $u\in (-\infty ,+\infty )$，$v\in [0,2\pi )$。

几何性质与截痕

• 直纹性：单叶双曲面是双重直纹面。这意味着曲面上任意一点都有两条直线完全位于曲面上。这一性质在建筑（如冷却塔）和工程中极为重要，因为它允许使用直钢筋构建弯曲表面。
• 截痕分析：
  • 用平面 $z=k$ 截割，截线为椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1+\frac{k^2}{c^2}$。当 $k=0$ 时，得到最小的椭圆，称为“喉椭圆”。
  • 用平面 $x=k$ 或 $y=k$ 截割，截线通常为双曲线。
• 渐近锥面：当 $z\to \infty$ 时，曲面无限逼近于锥面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$。

3. 双叶双曲面

定义与方程推导 双叶双曲面由两片互不相连的曲面组成，分别位于 $z$ 轴的两侧。其标准方程为： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$ 或者写作： $\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 注意方程左边有一项为正，两项为负，右边常数为 1。

参数方程 为了同时描绘上下两叶，参数方程通常利用 $\sinh u$ 的符号特性（$u>0$ 时为正，$u<0$ 时为负）来区分两叶，同时利用 $\cosh u$ 保证径向距离始终为正： $\{\begin{array}{l}x=a\sinh u\cos v\\ y=b\sinh u\sin v\\ z=\pm c\cosh u\end{array}$

几何性质与截痕

• 无界性与分离性：曲面分为上下两部分，中间有空隙（$|z|<c$ 时无图像）。
• 截痕分析：
  • 用平面 $z=k$ ($|k|>c$) 截割，截线为椭圆。
  • 用平面 $x=k$ 或 $y=k$ 截割，截线为双曲线。
• 顶点：曲面的顶点位于 $(0,0,\pm c)$。

4. 椭圆抛物面

定义与方程推导 椭圆抛物面是一种开口向上的碗状曲面（或开口向下）。其标准方程为： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$ （假设开口沿 $z$ 轴正向）。

参数方程 类似于极坐标的变换，令 $x,y$ 由极径 $u$ 和极角 $v$ 表示，则 $z$ 自然成为 $u^2$ 的函数： $\{\begin{array}{l}x=au\cos v\\ y=bu\sin v\\ z=u^2\end{array}$ 其中 $u\in [0,+\infty )$（若需全曲面则 $u$ 可取负值，但在几何上 $u$ 代表半径通常取非负，配合 $v$ 旋转），$v\in [0,2\pi )$。

几何性质与截痕

• 形状：像一个无限延伸的碗。
• 截痕分析：
  • 用平面 $z=k$ ($k>0$) 截割，截线为椭圆。$k$ 越大，椭圆越大。
  • 用平面 $z=0$ 截割，截线退化为原点（顶点）。
  • 用平面 $x=0$ 或 $y=0$ 截割，截线为抛物线。
• 旋转抛物面：当 $a=b$ 时，该曲面由抛物线 $z=x^2$ 绕其对称轴旋转而成，具有聚光性质（如卫星天线、探照灯）。

5. 双曲抛物面（马鞍面）

定义与方程推导 双曲抛物面因其形状像马鞍而得名。它是另一种直纹面。其标准方程为： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$

参数方程 由于方程形式简单，可以直接使用直角坐标作为参数： $\{\begin{array}{l}x=au\\ y=bv\\ z=u^2-v^2\end{array}$ 其中 $u,v\in (-\infty ,+\infty )$。

几何性质与截痕

• 直纹性：与单叶双曲面一样，双曲抛物面也是直纹面，可以由一族直线运动生成。
• 截痕分析：
  • 用平面 $z=k$ ($k\ne 0$) 截割，截线为双曲线。
  • 用平面 $z=0$ 截割，截线为一对相交直线 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
  • 用平面 $x=0$ 截割，截线为开口向下的抛物线 $z=-y^2/b^2$。
  • 用平面 $y=0$ 截割，截线为开口向上的抛物线 $z=x^2/a^2$。
• 鞍点：原点 $(0,0,0)$ 是曲面的鞍点，在该点曲面既不上升也不下降（切平面水平），但在不同方向上弯曲方向相反。

6. 二次锥面

定义与方程推导 二次锥面（通常指椭圆锥面）是一种退化的二次曲面，可以看作是单叶双曲面或双叶双曲面的极限情况（当常数项趋于0时）。其标准方程为： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$

参数方程 利用相似三角形原理，高度 $z$ 与底面半径成正比。令 $z=u$，则 $x,y$ 与 $u$ 成线性关系： $\{\begin{array}{l}x=au\cos v\\ y=bu\sin v\\ z=cu\end{array}$ 或者如代码中所示，若 $a=b=c=1$，则简化为 $x=u\cos v,y=u\sin v,z=u$。参数 $u$ 取负值时描绘下半锥，取正值时描绘上半锥。

几何性质与截痕

• 顶点：原点 $(0,0,0)$ 是锥面的顶点，也是其唯一的奇点（在该点切平面不唯一）。
• 直纹性：锥面也是直纹面，所有母线都经过顶点。
• 截痕分析：
  • 用平面 $z=k$ ($k\ne 0$) 截割，截线为椭圆。
  • 用平面 $z=0$ 截割，截线退化为一个点（顶点）。
  • 用通过原点的平面截割，截线为一对相交直线（母线）。

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二次曲面一般理论总结

定义与代数表示

在三维直角坐标系中，由三元二次方程表示的曲面统称为二次曲面。其最一般的形式包含 9 个系数（不计常数倍）： $a_{11}{x}^2+a_{22}{y}^2+a_{33}{z}^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2b_{1}x+2b_{2}y+2b_{3}z+c=0$

化简与分类规则

研究二次曲面的核心方法是通过坐标变换将一般方程化简为标准方程：

1. 旋转（正交变换）：目的是消去交叉项 ($xy,xz,yz$)。这对应于寻找二次曲面的主方向（特征向量）。
2. 平移：目的是消去一次项 ($x,y,z$) 或常数项。这对应于寻找二次曲面的中心。

通过上述步骤，任何二次曲面都可以归类为以下 17 种标准形式之一（包括退化情形）：

• 非退化曲面（5类）：

  1. 椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ （有界，封闭）
  2. 单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ （连通，无界，直纹）
  3. 双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$ （不连通，无界）
  4. 椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$ （无界，开口）
  5. 双曲抛物面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$ （无界，马鞍形，直纹）

• 退化曲面（锥面与柱面）：

  • 二次锥面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$
  • 椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
  • 双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
  • 抛物柱面：$x^2=2py$

几何共性

1. 直线相交性质：任意直线与二次曲面最多交于两个点。如果交于三个或更多点，则该直线完全位于曲面上（即母线）。
2. 对称性：标准形式的二次曲面均关于坐标平面、坐标轴或原点对称。
3. 截痕性质：用平面截割二次曲面，所得截线（如果存在）必为二次曲线（椭圆、双曲线、抛物线）或其退化形式（点、直线）。